kvark36

Были в гостях у соседей, разговорились, кто что слушает. Сосед рассказал про подкаст Французской Академии Наук. Я полистал разные их подкасты, в итоге не только подписался на один из них (Petites histoires de Science), но и прослушал все выпуски с самого начала (типичный FOMO, я знаю). Ведущий — Étienne Ghys. По правилам французского языка его фамилия должна бы читаться «Гис», но он её читает как «Жис» — с именами собственными во французском такое происходит регулярно. Анюта рассказала, что у неё на работе было два человека с одинаковыми фамилиями по написанию, но с разными произношениями, и оба человека щепетильно следили за тем, как произносят их фамилии собеседники.

В одном из выпусков ведущий решил рассказать пару парадоксов из теории вероятности.

---

Предположим, что вы бросаете монетку 10 раз, и 10 раз подряд выпала решка. Какова вероятность получить решку, когда вы бросите монету в 11-й раз?

Очевидный ответ — 50%, потому что мы давно выучили, что прошлое никак не влияет на будущее.

Есть вариант ответа с «законом больших чисел» — нам часто хочется, чтобы в долгой перспективе «всё компенсировалось», приходя к средней вероятности. Например, если в семье 4 ребёнка, и все они — девочки, то следующий же точно должен быть уже мальчик, потому что ну сколько можно, правда? В одну воронку снаряд два раза не попадает и т.п. Но нет, конечно, это рассуждение неверно.

В этот момент мне казалось, что парадоксы так и будут на школьном уровне, но следующий вопрос был: какова вероятность, что завтра снова взойдёт Солнце? Этот вопрос задал Лаплас ещё в 1814 году. И тут, конечно, тоже есть очевидный ответ: 100%. Хотя постановка вопроса совершенно идентична той, что была с монеткой: да, мы сколько-то там раз наблюдали случайное событие, и каждый раз был результат «Солнце взошло». Только в первом случае мы сказали «прошлое не влияет на будущее», подразумевая «а мы знаем, что монетка сбалансирована», из чего сделали вывод о 50% на 50%. А во втором мы точно так же подразумеваем какое-то знание о предмете, из чего делаем вывод о 100% вероятности восхода Солнца. То есть да, мы прикрываемся умными словами из теории вероятности, но на самом деле руководствуемся другими данными.

Так вот, ещё Лаплас показал, что если бросим монетку 1000 раз, и 450 раз выпадет решка, то «правильный» ответ, который включает в себя разбор вероятности того, что монетка не сбалансированная будет 451/1002.

Вернёмся к вопросу о Солнце. Во времена Лапласа возраст Земли оценивался в 5000 лет, умножим на 365 дней в году, итого вероятность того, что завтра оно не взойдёт = 1/1825001.

Вернёмся к задаче с монеткой. В этой логике правильный ответ: вероятность 11/12, что следующая тоже решка.

Что из этого правда? Всё правда. Просто сначала нужно определиться с определениями, а потом уже спрашивать.

---

Другой интересный парадокс — загадка Гамова. Предположим, в некой стране сделали правило, что в каждой семье может быть максимум 2 ребёнка, причём второй ребёнок позволяется только если первым ребёнком была девочка. Кого в итоге будет больше в стране, мальчиков или девочек? Предполагаем, что дети рождаются 50 на 50, в том числе у каждой матери (т.е. нет никаких биологических предпочтений), что в стране нет никаких селективных абортов и т.п. Никакого отношения к реализму (на практике всё это как раз есть), мы не в реальном мире, мы — в математике.

Дальше Жис приводит три правдоподобных рассуждения, приводящих к трём противоположным результатам:
* Будет больше мальчиков. Потому что для первого ребёнка шансы одинаковые, но если это был не мальчик, то есть ещё второй шанс сделать мальчика.
* Будет одинаково. Потому что при каждых родах рождаются 50 на 50, вне зависимости от правил.
* Будет больше девочек. Потому что среди семей с одним ребёнком очевидно 50 на 50. А вот среди семей с двумя детьми половина девочка-девочка, половина девочка-мальчик.

Здесь достаточно очевидно, что правильный ответ второй. Причём, он правильный, какой бы ни была политика государства (например, при запрете иметь детей после рождения первого мальчика). Но просто красиво, как можно для достаточно простой задачи закрутить три совершенно разные логики, и все достаточно убедительные.